Tesis doctoral de Mar Vaquero, parte II

Saludos. En el artículo anterior describimos el problema de enviar objetos al espacio al sitio donde queremos. En este artículo describiremos en sí  la tesis de Mar Vaquero, que podéis descargar aquí. Eso sí, para disfrutarla al 100% hace falta saber cosas de Álgebra, Topología y Física algo especializada. Mi compromiso al empezar esta serie era explicarlo todo a un nivel de 3ª de BUP, y creo que puedo hacerlo incluso a la hora de explicar las ideas principales de su tesis y su importancia, aunque la Matemática que hay detrás no es objeto de estas líneas.
Bien, seguiremos la tesis según esta desarrolla sus ideas. Las imágenes que  pongo están en su tesis y están desarrolladas por ella misma como representación gráfica de todos los cálculos que realizó para elaborarla. Bien, comenzamos.

DISEÑO DE TRAYECTORIAS DE TRANSFERENCIAS USANDO ÓRBITAS RESONANTES EN ENTORNOS MULTIOBJETOS Y EL PROBLEMA DE LOS TRES CUERPOS
Pues tras este nombre tan alucinante, encontramos un primer capítulo en el que se expone la base matemática de su tesis. El origen de toda la base matemática  que rige el cálculo de trayectorias es el Problema de los Tres Cuerpos. Consiste en lo siguiente: si en el espacio tenemos dos masas, la ecuación de la gravedad de Newton, que vimos en el artículo anterior, permite desarrollar una ecuación fácil de solucionar. De hecho, las soluciones son curvas cónicas (elipse, hipérbole, parábola...).

 Estas soluciones describen las órbitas elípticas de los planetas entorno al sol y hacer predicciones sobre su movimiento. Es decir, nuestra Matemática nos permiten explicar la realidad. Pero cuando en el espacio tenemos tres o más cuerpos, las atracciones gravitatorias recíprocas plantean un sistema de ecuaciones que NO podemos resolver en la mayoría de los casos.  Esto quiere decir que no somos capaces de predecir lo que va a ocurrir. Y si no podemos predecirlo, lo denominamos "caótico".
El problema más clásico de estos es con tres cuerpos y se denomina así, "Problema de los Tres Cuerpos". Esta idea del movimiento caótico fue brillantemente utilizada por el escritor chino Cixin Lui en su novela homónima, en la que construyó una asombrosa historia de Ciencia-Ficción. Pero para los ingenieros de vuelo del mundo real, el Problema de los Tres Cuerpos es una herramienta de trabajo. Porque hemos dicho que no se puede resolver en la mayoría de los casos, pero hay casos en el que sí se puede solucionarlo, al menos de forma aproximada. Uno de esos casos en cuando la masa de uno de esos tres cuerpos es despreciable en comparación con la de los otros dos. Por ejemplo, cuando un cuerpo es una estrella, otro es un planeta, y el otro es una pequeña nave que hemos enviado al espacio. ¿Entendéis? En ese caso sí podemos hallar soluciones. Esas son las que usan los ingenieros de vuelo. En estos casos, a las masas grandes se les llama "primarios", y salvo que sean iguales, hay un "primario mayor" y un "primario menor".
En el primer capítulo de la tesis se describe el problema de los tres cuerpos, sus ecuaciones, y luego otras herramientas matemáticas que se usan para estudiar y diseñar las trayectorias. No las vamos a ver en detalle, pero destacaremos que esas herramientas permiten:
a) evaluar la estabilidad de una posible trayectoria para saber si es predecible o la nave quedará dando vueltas de forma caótica en el vacío.
b) Estimar trayectorias marcando los puntos por los que queremos que discurra, y luego ir ajustando hasta formar la curva posible.
c) Evaluar la "energía" que debe tener nuestra nave para permanecer en una órbita determinada o meterse en otra órbita. De hecho, nótese que se puede hacer saltar sin encender motores una nave de una órbita a otra sólo si ambas requieren que el cuerpo tenga la misma energía. Si no, habrá que encender motores para frenar o acelerar la nave hasta el nivel de "energía" requerido para su nueva órbita. Este concepto  es totalmente análogo a circular con un coche por carretera. Imaginemos que vamos por una autovía a 120 km. hora. Si la autovía se bifurca en dos autovías (como en la A-92 en el desvío a Málaga o a Sevilla), ambos caminos tienen velocidad límite 120 km/h, por lo que no debemos ni acelerar ni frenar para tomar cualquiera de ellos. Digamos que ambos caminos necesitan el mismo nivel de energía y basta un pequeñísimo giro de volante para entrar en uno u otro. Imaginemos en cambio que vamos por una comarcal y queremos entrar en la autovía. Pues en la comarcal circulamos a 80 km/h y para entrar en la autovía tenemos que acelerar hasta los 120 km/h. Es decir, tenemos que "encender motores" para situarnos a la velocidad adecuada para circular por la nueva vía. Pues en el espacio ocurre algo parecido.
d) A partir de una órbita que conozcamos, generar una familia de órbitas parecidas, que compartan alguna característica que pueda interesar al ingeniero de vuelo. Por ejemplo, si hemos calculado una órbita tipo Lyapunov (ver más abajo) para un nivel de energía determinado, podemos sacar las demás Lyapunov para diferentes niveles de energía. Eso es sumamente útil.


Imagen de Júpiter y de L4 (campamento troyano) desde L5 (campamento aqueo),
en primer plano.

e) Encontrar en el espacio unos "caminos invisibles" asociados a las órbitas periódicas que llevan  por los que es posible llevar las naves de una trayectoria a otra. Estos "caminos" se llaman en Topología " invariant manifolds", que pueden ser estables (si el camino lleva a una órbita estable)  o inestables (si el camino sale de una órbita estable). Todo los artículos que he leído sobre el tema están en inglés y no sé el término en español, así que si algún matemático lo conoce, le agradecería. Podríamos pensar que los "stable manifolds" son más útiles, pero pensemos que el objetivo es llevar naves de una órbita a otra hasta el objetivo, así que el estudio de los "unstable manifolds" es muy importante en la tesis. Por ellos se puede sacar a una nave de una órbita con un gasto mínimo de energía.
f) Calcular con todo esto los encendidos de motores necesarios para una determinada trayectoria, y optimizar esta trayectoria para minimizar dichos encendidos y ahorrar energía.

Estas son las herramientas, y el objetivo de la tesis es estudiar trayectorias posibles para transferir objetos de una órbita a otra con un gasto mínimo de combustible. Recordemos que el combustible es escaso en las naves que se envían al espacio.

Bien, como todo lo anterior gira entorno al Problema de los Tres Cuerpos, os diré que es un problema con multitud de soluciones (es decir, hay muchas trayectorias posibles que satisfagan las ecuaciones), y que sólo se conocen algunas soluciones, a pesar de que se lleva trabajando en él desde el siglo XIX. Por ejemplo, una de las soluciones conocidas habla de 5 puntos, los puntos lagrangianos (porque fueron descubiertos por el matemático Lagrange),  L1, L2 y L3 en el eje que une un cuerpo con otro, y L4 y L5, separados 60º en la órbita del primario que gira , que según los resultados estudiados permanecen fijos respecto a los dos planetas estudiados. Y mientras el primario gira en su órbita, esos puntos también girar a la misma velocidad.

M1 y M2 son los primarios. Li son los puntos lagrangianos.

Y fijaos qué curioso, eso que predicen las  Matemáticas se manifiesta en la realidad. En esas posiciones L4 y L5, en la órbita de  Júpiter,  hay unos cúmulos de asteroides que van girando al mismo tiempo que Júpiter y por su misma órbita,  y parece que a los que bautizan objetos en el espacio les molan los clásicos, porque un cúmulo ha sido bautizado como "campamento aqueo" y el otro, como "campamento troyano", y ahí están, dando vueltas sin tocarse jamás. En general, a los cuerpos en dichas posiciones se les llama "troyanos".

 Dichos puntos lagrangianos son muy útiles para calcular las trayectorias posibles.
Otra solución estable  conocida son las órbitas de  Lyapunov (otro matemático), que son órbitas planas alrededor de los lagrangianos. Es decir, si pusiéramos un cuerpo en el nivel de energía requerido para una de estas órbitas, dicho objeto se quedaría recorriéndola indefinidamente. Estas órbitas han sido muy utilizadas en las misiones a La Luna.


Órbitas de Lyapunov de L1, L2 y L3. Gráfico de Mar Vaquero.

Han sido muchos los matemáticos que han estudiado diferentes órbitas, pero hay muchas soluciones sin descubrir. La propia Vaquero establece en las conclusiones de su trabajo, en el capítulo 5, los caminos por donde puede seguir la investigación.

Pero para Vaquero, el tipo de órbitas más  interesantes son las denominadas órbitas resonantes. Es su investigación sobre estas órbitas la que debió interesar a la NASA para reclutarla. Una órbita resonante con otra es aquélla que está en relación de números enteros en cuanto a tiempo con la primera. Es un fenómeno habitual en el universo. Por ejemplo, en Júpiter, tres de sus satélites tienen órbitas resonantes: Io, Europa y Ganimedes tienen órbitas 1:1, 1:2 y 1:4. Europa tarda justo el doble en dar una vuelta alrededor de Júpiter que Io. Y Ganimedes, tarda justo cuatro veces más que Io.
Júpiter y Saturno tienen órbitas 5:2 entre sí alrededor del sol. En el tiempo en que Júpiter da 5 vueltas alrededor del sol, Saturno da justo 2.

Órbitas resonantes de satélites de Júpiter

 Con fuerzas gravitatorias en el asunto, la resonancia produce alineaciones de planetas en periodos de tiempo fijos, y eso va provocando alteraciones en los alrededores. En la página 96 de la tesis, Vaquero explica un poco qué son, y al principio del capítulo 4, en la página 98, encontramos la descripción de por qué estudia estas órbitas. Resulta que las órbitas resonantes poseen asociados a ellas muchos "caminos invisibles" de los que hablaba al principio, los "invariant manifolds", de salida y llegada a ellas. Aunque estos "manifolds" no poseen una forma clara (a diferencia de los "manifolds" de  las órbitas de Lyapunov, por ejemplo, que tienen el aspecto de  "tubos" perfectos), precisamente es este enmarañamiento lo que hace que se toquen "manifolds" de distintas órbitas. Y aquí viene la estrategia: si se pone una nave en una órbita resonante inestable, es posible encontrar un manifold inestable que la saque fácilmente (con poco o ningún gasto de energía, es decir), y este manifold inestable tocará otro manifold estable de otra órbita resonante a dónde queramos llegar. Entonces se saca a la nave del manifold inestable de la primera y se mete en el manifold estable de la segunda, y así llegamos a la órbita resonante deseada, ahorrando mucha energía, porque precisamente los manifold son caminos que "tienden" a sacarte (manifold inestable) o a meterte (manifold estable) en una órbita. A lo largo de ellos,  las fuerzas gravitatorias que rigen todo el movimiento están a favor de la trayectoria que se desea realizar.


Ejemplos de órbitas resonantes en el sistema Tierra-Luna-Nave. Imagen de Mar Vaquero.
 

Este es el aspecto de los manifold de órbitas Lyapunov en sistema Tierra-Luna.
Imagen por Vaquero. Azul estable, Morado inestable

Comparar con el aspecto de los manifold de una órbita resonante en el mismo sistema.
Imagen por Vaquero. Azul, estable. Morado, intestable.
 

La aportación de Vaquero es precisamente esta implementación sobre las órbitas periódicas y el estudio de sus ventajosas propiedades, pues permiten diseñar trayectorias de transferencias entre diferentes órbitas prácticamente sin coste de energía. Y en su tesis, presenta las gráficas y los cálculos que ha realizado. En la página 110 y siguientes presenta alguno de sus trayectorias posibles estudiadas. Concretamente, quiere llevar un objeto desde una órbita de Saturno hasta una órbita de su luna, Titán, sin coste de combustible, y estrellarla contra su superficie. Y todo ello sin cambiar su "nivel de energía". Pues esto es lo que hace:
1) Parte de una órbita inestable alrededor de Saturno resonante 3:4 con la de Titán.
2) Tras una rotación, la órbita inestable se cruza con un manifold inestable por el que se "cuela" el objeto. Ese manifold lleva hasta las proximidades de la órbita de Lyapunov alrededor de L2 con ese nivel de energía, y se recorre en 39,7 días, según sus cálculos.
3) Tras completar una revolución en esa órbita próxima a la Lyapunov, su camino se cruza con un manifold estable asociado a la órbita Lyapunov de L1,  y el objeto se "cuela" por ella, acercándose a la órbita de Lyapunov de L1 de su mismo nivel de energía tras 12,4 días de vuelo.
4) Da una revolución completa según la Lyapunov de L1, y entonces el objeto es "introducido" por un manifold inestable de esta Lyapunov, que tras 2,49 días estrella el objeto contra la superficie de Titán.
Esta trayectoria diseñada mantiene en todo momento su nivel de energía constante, esto es, no ha habido que encender los motores.
Todo esto, computado y puesto en papel de forma gráfica, sin que aparezcan los cálculos realizados por Vaquero, sino sólo la gráfica de la trayectoria, se ve así:

Gráfica de la trayectoria de ejemplo que calculó Vaquero. Imagen por Vaquero. A la izquiera un zoom de los alrededores de Titán.

Vaquero presentó tu tesis en agosto de 2013. Por aquella época la Cassini ya había terminado su primera misión con combustible suficiente para hacer más cosillas. Obviamente, una persona capaz de hacer lo que hemos contado arriba no pasa desapercibida para la agencia, así que ahí la ficharon para la misión Cassini. Gran parte de las trayectorias que muestra en su tesis tratan precisamente de Saturno y sus lunas. Casi como si supiera lo que iba a venir. Y Cassini llevaba un tiempo ya dando vueltas a la espera de nuevas misiones en Saturno. Fue entonces cuando le encargaron el diseño de la trayectoria que llevó a la nave desde Titán hasta Encélado, y luego de vuelta a Titán. Aquel viaje estaba enmarcado en la ya tercera misión Cassini, para la cual apenas había combustible. Y gracias a ese viaje, se pudo comprobar que en Encélado hay un océano que puede albergar vida. De hecho, el final de Cassini se ha diseñado para no dañar a la posible vida de Titán o Encélado. Por eso se lanza contra Saturno.

CONCLUSIONES
Pues gracias a este documento tan alucinante, la idea que se ha quedado de todo esto es que en el espacio entre planetas hay "caminos" por donde se puede enviar objetos sin gastar mucho combustible. Einstein describió esto desde su teoría de la Relatividad General diciendo que el espacio-tiempo era deformado por las masas de los cuerpos. Newton, dos siglos antes, lo explicaba con la aplicación de las fuerzas gravitatorias. La realidad no es ni una ni otra, pero podemos explicarla con una aproximación u otra según lo que queramos. La NASA usa la formulación de Newton para estudiar las trayectorias de sus naves, pues a los niveles de energía a los que se mueven, es suficientemente aproximado.
El movimiento de los objetos en un entorno con varias masas gravitatorias no es intuitivo. Si habéis visto las imágenes de este artículo, veréis que las órbitas no siempre son circulares o elípticas. Las hay en forma de ocho, en forma de riñón, en forma de lazo complejo. Y eso son las órbitas estables. Las inestables con imposibles de predecir.
Los ingenieros de vuelo de las misiones espaciales tienen un trabajo fascinante buscando a tientas esos caminos ocultos. y tal vez Cassini sea la misión, junto a las de la Luna, que más desafíos ha planteado para estos ingenieros. Después de todo, es la primera vez que se tiene una sonda tantos años en el espacio yendo y viniendo a tantos sitios. Es decir, queda mucho por investigar y mejorar.

Las últimas órbitas de Cassini

 Y gracias a la tesis de Vaquero, hemos podido echar un ojo a este trabajo tan fascinante.

P.S. Mientras escribo esto, Cassini está en sus últimos días. El 15 de septiembre se estrellará contra Saturno. Pero eso no será el final, sino el principio de otra misión, y de un nuevo trabajo para Vaquero. De hecho, ya está trabajando en ello.